Для решения этой задачки надо знать две темы:

1. Уметь находить производные функции
2. Уметь с помощью производных находить максимумы и минимумы.

Насчёт производных - ну, надо их знать, если не знаешь - не фиг и браться за задчку В14, производные в ней главное. Так то, производные не сильно сложная штука. Надо просто запомнить таблицу производных (как в первом классе таблицу умножения) - и всё, проблем нет! Кто подзабыл - ПОЧИТАЙТЕ ВОТ ЭТУ СТРАНИЧКУ НА НАШЕМ САЙТЕ.

А про вторую тему маленько поговорим. С помощью производной функцию можно ИССЛЕДОВАТЬ НА ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ. Помните геометрический смысл производной?

Функция, как мы знаем, может или возрастать, или убывать. Если график идёт снизу вверх (от левого нижнего к правому верхнему углу) – то функция возрастает.  Если сверху вниз – функция убывает.
Так вот, смотрите по рисунку: для возрастающей функции касательная (красный цвет) составляет с осью абсцисс острый угол, то есть тангенс (а, значит, и производная) положительны.

Для убывающей функции  касательная (зеленый цвет) составляет с осью абсцисс тупой угол, значит тангенс и производная отрицательна.
А если график перегибается от возрастания на убывание (или наоборот от убывания на возрастание), то касательная – синий цвет – параллельная оси абсцисс. Для такой касательной противолежащий катет равен 0, поэтому тангенс и производная тоже равны нулю.
Таким образом, по производной можно охарактеризовать функцию:

1. производная > 0   - функция возрастает;
2. производная < 0   - функция убывает;
3. производная = 0    - фукция имеет точку перегиба. Кстати точки перегиба называются  максимум (верхняя), минимум (нижняя) или экстремумами (и та и другая).

Так вот, друзья мои, задача В14 построена так. Дана формула какой-нибудь функции. И спрашивается: найдите или наибольшее, или наименьшее значение этой функции на таком-то участке. Решается эта задача по следующему плану.
Шаг первый - находим производную заданной функции.
Шаг второй - приравниваем производную к нулю. Получилось уравнение, которое решаем и находим икс. В этой самой точке производная будет параллельна оси абсцисс, то есть здесь будет перегиб графика функции.
Шаг третий - определяем, какой именно перегиб - МАКСИМУМ или МИНИМУМ. Для этого узнаем знак производной слева и справа от найденной точки. Если слева минус, справа плюс - то функция переходит от убывания на возрастание. Значит, перегиб - МИНИМУМ. Ну, и наоборот.
Шаг четвёртый - это и не шаг-то особо, но про него не нужно забывать. В результате все подсчетов мы находим икс. А в задаче чаще всего требуется найти минимальное или максимальное значение функции - игрека. Поэтому, в оконцове, надо подставить икс в исходную формулу и найти игрек. Вот, скачал картиночку на эту тему:

Ну, давайте примерчик.

Пример В14 – 1

Решение.

Шаг уан - находим производную

Шаг ту - приравниваем производную к нулю, получится уравнение с неизвестным иксом.

Уравнение не изменится, если обе его части разделить на одно и то же число. Такое свойство мы учили в шестом классе. Разделим на 30, чтобы числа были поменьше и решать его было полегче.

Ну и решаем. Это квадратное уравнение, решать его надо - помните? - с дискриминантом. Кто забыл - почитайте теорию тут.

Вот, получили два корня, две точки, В этих точках график функции имеет перегиб. Только - в которой максимум, а в которой минимум - пока не понятно.

Шаг третий - найдем знак производной до и после этих критических пергибных точек. Например, левее, чем минус три - возьмём минус 4. Между ними - ноль. Правее, чем 2 - три.

,

Производная положительна!

Производная отрицательна!

Производная опять положительна!

Обычно рисуют такую схемку:

До минус 3 производная была положительна, функция возрастала. После - убывала, потому что производная отрицательна. С возрастания перегнулась на убывание - значит это был МАКСИМУМ в точке -3. А в точке 2 ,наоборот, с убывания на возрастание, значит это был МИНИМУМ. В условии просят найти МИНИМУМ - это в точке 2.

А шага четвёртого здесь не будет. Если бы просили найти значение ФУНКЦИИ в точке минимума - тогда бы нужен был шаг четвёртый. Здесь достаточно найти "точку минимума" то есть значение икс. Мы его и нашли. Ответ 2.

Пример В14-2(Это из демоварианта 2013 года)

Предыдущий пример был довольно лёгкий. Потому что надо было найти производную от суммы степенных функций. Это обычно все умеют. А встретится функция посложнее - вот уже и тупят. Разберем более хитрый примерчик.

Соственно говоря, особой хитрости тут нет, просто взята тригонометрическая функция КОСИНУС, она кой-кого, шарахающегося от тригонометрии, может напрягать.
Поехали по стандартной схеме. Шаг первый - находим производную. Знаем, что производная от косинуса - минус синус. А ещё мы знаем, что пи - это постоянное число, довольно мудрёное, конечно, в виде десятичной дроби с неограниченным числом знаком после запятой, но всё-таки постоянное число. Поэтому производная от него равна нулю. Получается:

Шаг второй. Приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение.

Это прям-таки табличное значение! Если синус равен корень из трёх на два - то это угол 60 градусов,
или по-другому . Мы, правда, знаем, что синусоида бесконечно простирается вдоль оси икс, поэтому корней уравнения будет бесчисленное множество. Но тут-то нам и пригодится дополнительное условие - на отрезке от нуля до пи пополам. Это - в первой четверти, от нуля до 90 градусов, здесь уравнение имеет всего один корень .

Шаг третий. Итак, мы установили, что в точке функция имеет ПЕРЕГИБ (то ли максимум, то ли минимум). А что именно? Надо найти значение производной левее данной точки и правее её. Попробуем взять 30 градусов (меньше, чем 60) и 90 градусов (больше, чем 60). Синус 30 градусов равен 1/2. Это табличное значение, его, я надеюсь, все мы прекрасно помним. Получается

Здесь корень из трех я очень грубо округлил до 1,7 - но, тем не менее, ясно, что производная ПОЛОЖИТЕЛЬНА, значит функция ВОЗРАСТАЕТ. А теперь от 90 градусов. Синус 90 градусов равен 1, как мы помним...

Производная отрицательна, функция убывает. Значит, она сперва возрастала, потом стала убывать. Это говорит о том, что в точке перегиба она имела МАКСИМУМ. Найдено!!! Но в данной задаче требуется ШАГ ЧЕТВЁРТЫЙ - потому что требуется найти наибольшее значение функции, то еасть ИГРЕКА. Для этого найденный максимум икса надо подставить в самую первоначальную формулу, данную в условии задачи.

Всё сосчиталось очень здорово! Второй и третий член с разными знаками взаимно уничтожились. Косинус 60 градусов равен 1/2. Таким образом, наибольшее значение функции 1. Это ответ, который надо вписать в бланк ЕГЭ.

Пример В14-3 (Это уже из демоварианта 2014 года)

Шаг первый - находим производную. Этот шаг здесь не самый простецкий. Отмечаем, что дано произведение двух функций. Одна , другая .Производная от произведения находится по такому правилу: ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ПЕРВОЙ ФУНКЦИИ УМНОЖИТЬ НА ВТОРУЮ + ПЕРВАЯ ФУНКЦИЯ УМНОЖИТЬ НА ПРОИЗВОДНУЮ ВТОРОЙ

От первой функции производная равна 1. А вторая функция - своеобразная, она называется экспонента, и своеобразие её в том, что производная её такая же, как и сама функция . Тогда получится

Шаг второй - приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение. Можно подумать, что это уравнение довольно замысловатое

На самом деле оно весьма простое. при любом иксе больше нуля. Это мы должны помнить из свойств показательной функции. А значит ИКС, умноженное на число больше нуля, может быть равно нулю лишь в том случае, если ИКС равен нулю. Это и есть единственное решение данного уравнения.

Шаг третий. Выясняем, какой перегиб в точке х = 0 МАКСИМУМ ИЛИ МИНИМУМ? Выбираем два значения х = - 1 и х = 1. При х = - 1 производная отрицательна, при х = 1 положительна. Значит в точке х = 0 функция имеет МИНИМУМ.

Шаг четвертый - находим значение функции в этой точке

Это и есть ответ - наименьшее значение функции.
Хотелось бы заметить, что е - это так называемое число Эйлера, оно представляет собой бесконечную непериодическую дробь, как пи, примерно равно 2,7. Но это совсем никак не пригодилось нам при решении задачи.

Вот ролик с you tube о решении задачи В14. Очень подробный. Если весь просмотришь - будешь молоток...

Назад к задаче В13 /Задача В14/ Вперед к задаче С1