Кораблик по морю плывёт, журавлик по небу летит….

15. 3D
Рельсы-рельсы, шпалы-шпалы, едет поезд от вокзала. Едет по прямой железной дороге, никуда не сворачивая. Местоположение поезда можно указать одним единственным числом – расстоянием до вокзала, принятого за точку отсчёта.
Плывёт кораблик. Он отплыл от порта, допустим, на 20 км. В данном случае это число мало о чём говорит. Да, 20 километров, но в какую сторону?

В отличие от поезда, который может двигаться только по линии, корабль может двигаться по поверхности (если, конечно, это не Титаник, тот может ещё и вниз). Местоположение корабля указывают двумя числами – широтой и долготой, по сетке параллелей и меридианов, как бы нанесённой на поверхности моря. Либо можно «привязать» к порту систему координат из двух перпендикулярных осей X и Y – и указать две координаты для местоположения корабля в море. Теперь уже будет не «точка отсчёта», как мы брали для поезда, а «система отсчёта».
А если журавлик или самолётик? Для них двух координат мало, добавляется ещё и третья координата – высота.  Да, наш мир представляет собой пространство трёх измерений (по-английски 3-dimensional, 3D). В этом мире положение любой точки в пространстве определяется тремя координатами X, Y, Z.

Всё, о чём мы говорили в первом рассказе, относилось к движению тела вдоль прямой линии. И пройденный путь, и скорость, и ускорение. Такое движение на самом деле бывает, взять тот же поезд. Но оно – лишь частный случай движения вообще, которое может происходить в трёхмерном пространстве, и не по прямой, а по какой-нибудь кривой, дуге или вовсе по окружности. Сейчас мы такие движения и рассмотрим. Только для этого нам нужно ввести несколько новых понятий.

16. Чем отличаются путь и перемещение?
Траектория – это линия, которую движущееся тело как бы прочерчивает при своём движении. По форме траектории мы и различаем прямолинейное или криволинейное движение. Вот картиночки из учебника Генденштейна:

На первой – прямолинейная траектория взлетающего самолёта; на второй – криволинейная траектория автомобиля на извилистой дороге. На третьей – Вася вышел погулять, описал замысловатую траекторию, петляющую по району, а после прогулки вернулся домой.
Форма траектории – относительная, зависит от выбора системы отсчета. Вот в движущемся вагоне падает шарик, на котором сидит паучок.

С точки зрения наблюдателя в вагоне – траектория – вертикальная прямая (а); с точки зрения человека на перроне – траектория кривая линия (б), складывающаяся из движения шарика вниз и движения вагона вправо; с точки зрения паучка, сидящего на шарике – шарик вообще не движется (в).
Длину траектории называют пройденный путь или просто путь.
Перемещением называется направленный отрезок (стрела), соединяющий начальную и конечную точку траектории.

Если траектория кривая – как у автомобиля на извилистой дороге – то перемещение короче, чем путь. Если траектория замкнутая, как у гуляющего Васи, начало и конец в той же точке – то перемещение вообще равно нулю, никуда Вася в итоге своей прогулки не переместился. А если, как у взлетающего самолёта, траектория прямая и, на первый взгляд,  путь и перемещение равны – всё равно есть разница. Перемещение – это ВЕКТОР. Вектором будем называть такую величину, которая характеризуется не только величиной (модулем), но и направлением.
Пройденный поездом путь S – это не вектор, это СКАЛЯР. Про него сказали, что он равен 20 км – и этим всё сказано!  А про перемещение этого сказать нельзя. Да, 20 километров – но  в какую сторону?
Вектор перемещения обозначают буквой (обязательно со стрелкой вверху над буквой). Модуль вектора перемещения (модуль – это просто число, без указания направления) обозначают так . Вот модуль при прямолинейном движении совпадает с путём, это так.

17. Действия над векторами
Векторы, как и числа, можно складывать, вычитать, умножать, делить. Причём, действия над векторами вполне понятны с позиций простого здравого смысла. Вот – сложение векторов. Здесь возможны два варианта.

1. Слагаемые векторы приставляем друг к дружке начало к концу, начало к концу .  Тогда суммой всех этих векторов будет вектор, соединяющей начало первого с концом последнего. В самом деле, если бы Вася переместился сначала по вектору АВ1, отдохнул маленько, потом переместился по В1В2, ещё отдохнул, потом переместился В2В3, то в итоге три его перемещения были бы равноценны перемещению АВ3.

Мы, кстати, каждый день так перемещаемся, когда переходим перекрёсток по диагонали.  По диагонали переходить улицу нельзя, вот мы и делаем два перпендикулярных перемещения, чтобы оказаться на диагонально противоположном углу.

2) Два вектора выходят из одной точки в разные стороны. Здесь хорошо представить лодочку, плывущую поперёк реки. Поперёк реки лодка совершает перемещение 4 метра. Но в это же самое время лодку сносит вниз по течению на 3 метра. Где же она окажется в итоге? Суммарный вектор – это диагональ прямоугольника, построенного на двух векторах-слагаемых. Направление её понятно, а модуль (длину) можно посчитать по теореме Пифагора. Такой способ сложения векторов называют «сложением по правилу параллелограмма» , потому что угол между векторами-слагаемыми не обязательно прямой, как на рисунке, а может быть, в принципе, любым.

Довольно легко вывести правило умножения вектора на число, если представить сложение нескольких равных векторов, направленных в одну сторону. Правило будет такое: при умножении (делении) вектора на число его модуль увеличится (уменьшится) в несколько раз, а направление останется тем же самым.

18. Получается, скорость и ускорение – тоже векторы?
Если рассматривать движение тела не по линии, а в пространстве, то вместо пути надо взять перемещение, и тогда определение скорости будет такое

Скорость – это отношение перемещения к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло. Раз перемещение – вектор, а время – скаляр, то есть просто число, то мы имеем действие деления вектора на число. В результате получится вектор, направленный в ту же сторону, что и делимое. То есть, скорость – это вектор, направление которого совпадает с направлением вектора перемещения.
А если скорость вектор, то и ускорение тоже вектор. Оно ведь находится по формуле

И направлено оно, получается, в ту же сторону, что и скорость.

19. А теперь – наёборот!
Рассматривая движение лодочки, мы из двух взаимно перпендикулярных векторов сделали один, результирующий. И согласились, что это логично и правильно. А теперь сделаем обратное. Имея некий вектор мы представим его, как сумму двух взаимно перпендикулярных составляющих. Причём, эти составляющие мы пустим не как попало, а по осям системы координат. Составляющая по оси x обозначается  ; по оси y обозначается .
Ясно, что это равноценная замена. Такая операция называется «разложением вектора по координатным осям».

Вот мы нарисовали две лампочки с отражателем и лучиками света. Допустим тело (материальная точка) движется по вектору перемещения . А её тень, создаваемая лампочкой 1, движется по оси х. Тень, создаваемая лампочкой 2, движется по оси y. Тени называются проекциями. Таким образом,  мы заменяем движение тела по плоскости движением её проекций вдоль двух координатных осей. Если тело движется в пространстве, как журавлик, то возьмём еще и третью проекцию вдоль оси z.
А на фига нужная такая замена? Да потому, что движение тела вдоль прямой мы хорошо усекли и научились обсчитывать в нашем первом рассказе про поезд. А вот этим приёмом мы сводим сложное замысловатое движение тела в трёхмерном пространстве к движению вдоль прямой (точнее говоря, вдоль трёх прямых). Сложное приводим к простому и понятному. Вот на фига!

<<< Назад I Вперед >>>