ЕГЭ МАТЕМАТИКА 2017
ДЕМО
Профильный уровень

ПРОДОЛЖЕНИЕ

Смотреть предыдущую

Нарисуем чертёж призмы. Обратим внимание, что призма - правильная, то есть в основаниях лежат равносторонние треугольники и боковое ребро - высота - тоже равно 6.

Первым делом требуется доказать, что отрезки ВМ и MN перпендикулярны. Или, иначе говоря, что угол BMN - прямой. Для этого соединим точки B и N и попробуем доказать, что полученный треугольник BMN - прямоугольный

.

Помните, как двевние египтяне выравнивали прямые углы для своих пирамид. Они брали верёвку с 12 узлами и натягивали её так, чтобы на каждую сторону треугольника приходилось соответственно 3, 4 и 5 промежутков между узлами. Они использовали теорему, обратную теореме Пифагора: если сумма квадратов двух сторон треугольника (катетов) равна квадрату третьей стороны (гипотенузы) то этот треугольник прямоугольный.

Пойдём и мы тем же путем. Докажем, что сумма квадратов сторон BM и MN равна квадрату стороны BN.

Четырёхугольник АА1В1В - квадрат со стороной 6 (по условию). Из прямоугольного треугольника ВАМ, где АВ = 6; АМ = 3 (середина стороны АА1) найдём МВ

Далее найдём MN, исходя из того, что и M и N середины сторон

А чтобы найти BN выполним дополнительное построение.

Проведём В1N - выстоу в треугольнике А1В1С1. Легко сообразить, что В1N

Треугольник ВВ1N - прямоугольный, потому что в правильной призме бококове ребро и основание перпендикулярны. Из него найдём BN

Всё, все стороны в треугольнике BMN определили, теперь проверим его на соответствие теореме Пифагора

Задание а) доказано.

Вторая часть задания требует найти угол между двумя плоскостями. Вспомним, о чём это, по учебнику Атанасяна. Угол между плоскостями - это двухгранный угол. Вот на картинке одна грань зелёненькая, другая серенькая. Линия пересечения плоскостей называется ребро.

Если в каждой грани провести отрезки ВО и АО, так, чтобы они были перпендикулярны ребру, то получится так называемый линейный угол АОВ двухгранного угла. Угол АОВ можно померить транспортиром, по величине линейного угла мы говорим и о величине двухгранного угла.

В нашем задании требуется найти двухгранный угол между плоскостями АА1В1В (это обращенная к нам передняя боковая грань призмы) и построенной внутри призмы плоскостью BMN. Ребром между этими плоскостями является BM. В плоскости BMN лежит отрезок NM, про который мы уже доказали, что он перпендикулярен к ребру. А в плоскости АА1В1В проведём отрезок HM, который будет вторым лучом искомого линейного угла HMN. Найдём угол HMN - вот и решили вторую часть задачи!

Но мы забежали вперёд: не пояснили, как построен отрезок HM и почему его можно считать вторым лучом линейного угла HMN. Из точки N мы опустили перпендикуляр на А1В1, основание перпендикуляра обозначили буквой Н. А затем точку Н соединили с точкой М. Такое вот, дополнительное построение.
Затем мы вспомнили из Атанасяна теорему о трёх перпендикулярах.

Теорема звучит так: прямая а, проведённая в плоскости альфа через основание M наклонной АМ перпендикулярно к проекции наклонной на эту плоскость MH - перпендикулярна и самой наклонной АМ.

На нашем чертеже в плоскости АА1В1В лежит проекция НМ наклонной NM. Наклонная NM перпендикулярна BM, следовательно по теореме о трёх перпендикулярах и её проекция НМ тоже перпендикулярна ВМ. Таим образом, мы доказали, что угол HMN является линейным углом искомого двухгранного угла.Осталось вычислить этот угол.

Из треугольника А1NВ1 достаточно просто найти его высоту NH. Она равна

Треугольник NHM тоже прямоугольный, поскольку основание правильной призмы, конечно же, перпендикулярно боковой стороне. Отсюда синус искомого угла NHM равен

Показательное неравенство, неравенство, где переменная икс (которую, собственно говоря, и требуется найти) стоит в показателе степени.
Простейшие неравенства решаются примерно так же, как и показательные уравнения (смотри задание 5). Например, простейшее показательное неравенствоимеет решение . Но наше неравенство довольно громоздкое. Постараемся упростить запись, насколько это возможно, чтобы привести заданное неравество в самы простой вид.
Сначала по свойствам степеней

Получится вот так:

Вот эту "тройку в степени икс", которая повсюду встречается, давайте временно заменим како-нибудь буквой, например k.

Тогда

Это уже гораздо симпатичней... Затем с первой дробью сделаем такое преобразование: прибавим единичку и отнимем её

Для чего мы это сделали? Чтобы получился в числителе красивый квадратный трёхчлен, который легко разложить на множители (k-1)(k-5)

Первая дробь превратится в

Со второй дробью сделаем такое преобразование: прибывим в числителе (+3) и (-3)

После этаких преобразований запишем всё неравенство, чтобы не забыть

Первая и третья дробь сокращаются (сомножитель в числителе и знаменатель)

Перенесём ещё и правую часть налево

Вот и окончательно оформленное неравенство. Дробь меньше или равна нулю

1. Если числитель отрицателен или равен нулю;
2. Если знаменатель отрицателен (но он не имеет права быть равным нулю).

Поэтому решением неравенства будут

А теперь вернёмся к настоящей переменной - "три в степени х"

1. , откуда

2. Девять - это тройка в квадрате. А можно ли число 5 представить себе, как 3 в какой-нибудь степени? Да

Поэтому второе решение неравенства

Построим чертёжик.

Есть отличный, подробнейший ролик с решением этой непростой задачки. Его то и предлагаем Вашему вниманию.