Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением

где c = 1500 м/с — скорость звука в воде; f0 — частота испускаемого сигнала (в МГц); f — частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.

Помнишь, мы рассматривали возрастающую, убывающую и перегибающуюся с возрастания на убывание функцию? Это было в задаче 7. Мы говорили, что при возрастании функции её производная имеет знак "плюс", при убывании "минус", а в точке перегиба производная равна нулю.

А ведь точка перегиба - это и есть точка МАКСИМУМА функции. Именно в точке перегиба функция У имеет наибольшее значение! (По правде сказать, может быть и минимум, но об этом позднее).

Таким образом, решать задачу будем в два действия: 1) Найдём производную от функции 2) Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение.

1) Находим производную. Во-первых, помним, что производная суммы равна сумме производных.

Производная от второго слагаемого, от 2х, равна просто 2; производная от третьего слагаемого, от 7, вообще равна нулю. А вот первое слагаемое - это сложная функция и производную от неё надо искать аккуратно.
Рассмотрим эту сложную функцию. Сначала была простая линейная функция

Потом её возвели в квадрат и получили новую функцию

А потом от этой новой функции, от v, взяли натуральный логарифм и получили уже третью функцию u(v)

И теперь, по правилам дифференциирования, чтобы найти производную функции u(x) надо перемножить

Сделаем такие действия с заданной в условии функцией

А в целом производная от суммы трёх слагаемых получится такая

2) Приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение

Это ответ. Если бы уранение имело два или больше корней, нады бы было проверить, который из них является максимумом. А ещё бывают задания, типа "найти наибольшее значение функции". Тогда надо искать не икс, а игрек. Найти икс, подставить в исходную формулу и вычислить игрек. Так что, условия надо читать повнимательней.

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Данное задание проверяет наше умение решать тригонометрические уравнения.
Простейшее тригонометрическое уранение выглядит например так sin x = 0 или так sin x = 1/2.
Неизвестная величина х - это угол, синус которого равен нулю (в первом случае) или 1/2 (во втором случае).

Мы имеем кое-какие представления о тргонометрии, и знаем, что sin 0 = 0. Получается х = 0. Это решение первого уравнения? Да, решение. Но не всё решение. Потому что

Уравнение имеет бесконечное множество корней, каждый из которых на "пи" отличается от другого. В общем виде корни уравнения принято записывать так

Множитель k принадлежит (значок, похожий на букву Е, означает "принадлежит") множеству целых чисел Z. То есть k может принимать любые целые значения {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Второе простейшее уравнение sin x = 1/2 тоже имеет множество корней. Не станем пояснять вывод формулы, его ты легко найдёшь в любом учебнике, сразу дадим формулу корней в окончательном виде

Но эти формулы позволяют решать простейшие уравнения, а у нас в исходных данных уравнение чуть более замысловатое. Поэтому его для начала надо максимально упростить. Вспомним формулы для двойного угла и основное тригонометрическое тождество. Считается, мы это должны помнить наизусть. И сделаем так:

А для правой части уравнения вспомним одну из формул приведения

Теперь заданное уравнение можем переписать в таком виде

И дальнейшие преобразования

Произведение двух сомножителей равно нулю, если хотя бы один из них (или оба) равны нулю. Наше уравнение распадается на два простейших

и

Оба эти простейших уравнения мы уже рассмотрели, решения их показали. и У того и того уравнения, как говорилось, корней бесконечное множество. А теперь надо выполнить задания б) выбрать из этого множества только те корни, которые принадлежат промежутку .

Промежуток я нарисовал на прямой, вообще-то надо рисовать круг. Подставляем в формулу

разные значения k. При k = - 2 Это единственный корень, который входит в заданный промежуток.

Затем, возьмём корни

и будем также подставлять вместо k разные значения. Найдём, что в заданном промежутке находятся корни

В данной задаче надо в бланк записывать не только ответ, но и выкладки.Ответ

а):

б) ;