ЕГЭ МАТЕМАТИКА 2018
ДЕМО
Профильный уровень

Разбор заданий базового уровня смотри здесь

Работа включает в себя 19 заданий. В том числе:

• 8 заданий базового уровня сложности, при решении которых достаточно привести краткий ответ;
• 4 задания повышенного уровня сложности, тоже с кратким ответом;
• и 7 заданий высокого (но не запредельно высокого!) уровня сложности, где должен быть записан развёрнутый ответ, то есть - ход решения

---

Сколько задачек из девятнадцати надо научиться решать?

• Если ЕГЭ нужен только для аттестата, то вообще-то надо сдавать не профильный, а базовый. Но вдруг ты протупил по какой-то причине и выбрал профильный - то решай только задания с 1 по 8, для аттестата хватит.
• Если ты поступаешь в технический ВУЗ на инженерную специальность, то тебе нужно уверенно решать 16 заданий, а именно с 1 по 15 плюс 17.
• Если ты поступаешь на "физмат" или на экономику в престижном универе, где принимают стобалльников - то учись уверенно решать все 19 заданий!

---

Задание 1. Поезд отправился из Санкт-Петербурга в 23 часа 50 минут (время московское) и прибыл в Москву в 7 часов 50 минут следующих суток. Сколько часов поезд находился в пути?

Решение. Сутки - это 24 часа. Начало суток 0 - 00. Ночь. Время пошло: 1-00, 2-00, 3-00 итд. В 12-00 стрелки часов встали на то же место, что и в начале суток. Но - прошло только 12 часов, только половина суток. Потом 13-00, 14-00, 15-00 и так далее. Наконец, 22-00, 23-00, 23-57, 23-58, 23-59 и далее.... сколько? Можно сказать 24-00, а можно сказать 0-00 следующих суток.

Простите, за такое дурацкое изложение, это, конечно, всем известно.

Теперь о задаче. Поезд отправился в 23-50. Прошло всего 10 минут, как наступили следующие сутки. А в следующие сутки поезд был в пути 7 часов 50 минут. То есть, всего он был в пути 7-50 + 10 минут = 8 часов.

Ответ 8

---

Задание 2. На рисунке точками показана средняя температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией.

Определите по рисунку, сколько месяцев из данного периода средняя температура была больше 18 градусов Цельсия.

Решение. Достаточно мысленно провести горизонтальную линию по отметке 18 градусов. Само число 18 на оси температур не показано, но видно, что цена деления оси 2 градуса, то есть 18 будет посередине между 16 и 20. Мы видим, что четыре месяца 6; 7; 8 и 9 лежат выше этой линии. Обратите внимание: в условии сказано, что точки "для наглядности" соединены линией, сама по себе линия ничего не обозначает, числовое значение имет только точки.

Ответ 4

---

Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1см изображён треугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Длина основания 6 см. Высота 2 см. Площадь 1/2 х 6 х 2 = 6

Ответ 6

---

Задание 4. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах.

Решение. Делают некий ОПЫТ. Это термин такой в теории вероятностей. В нашей задачке опыт – вытягивание билета из сборника. У этого опыта возможно сколько-то ИСХОДОВ. В нашей задачке – возможно 25 исходов. 
То есть, исход № 1 – это попался билет № 1; исход № 2 – попался билет № 2 и так далее, всего 25 исходов. 
СОБЫТИЕ (А), которого мы ожидаем, состоит в том, что в вытянутом нами билете есть вопрос о грибах. Этому событию БЛАГОПРИЯТСТВУЮТ (приводят к нему) 2 из 25 исходов, а в двух исходах данное событие не наступит (вопрос о грибах всё-таки попадётся!). 

Вероятностью события А называется отношение числа m исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу n исходов данного опыта.

P(A)= m / n

В нашем случае m = 2, n= 25, P(A) = 2/25 = 0,08 

Ответ 0,08

---

Задание 5. Найдите корень уравнения

Решение. Это так называемое "показательное уравнение", когда неизвестная величина х в показателе степени. Как решать?
Число 81 представим, как

тогда исходное уравнение можно переписать в таком виде

А дальше понятно - основания степеней одинаковые в правой и левой части, тройки, между частями знак "равно", следовательно можно приравнять и показатели степени

х - 5 = 4, отсюда х = 4 + 5 = 9

Ответ 9

---

Задание 6. Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Угол BAC равен 32 .° Найдите угол BOC . Ответ дайте в градусах.

Решение. Угол ВАС называется ВПИСАННЫМ углом. У него вершина А лежит на окружности. Угол ВОС называется ЦЕНТРАЛЬНЫМ. Его вершина лежит в центре окружности.

А теперь ВНИМАНИЕ! Есть свойства вписанного и центрального угла, которые обязательно надо знать для решения данной задачки. Центральный угол (в градусах) равен дуге, на которую он опирается. Вписанный угол равен ПОЛОВИНЕ градусов дуги, на которую он опирается. В нашем случае и тот и другой угол опираются на одну и ту же дугу. Угол ВАС равен 32 градуса, а угол ВОС, следовательно, в два раза больше, то есть 64 градуса.

Ответ 64

---

Задание 7. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f (x). На оси абсцисс отмечены девять точек: х1, х2, х3, ... х9 .

Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции f (х ) отрицательна. В ответе укажите количество этих точек.

Решение. Надо вспомнить графический смысл производной.

Производная численно равна тангенсу угла наклона касательной. Если функция возрастает, касательная составляет с осью ОХ острый угол (красный цвет), производная положительна. Если функция убывает, касательная составляет с осью ОХ тупой угол (зелёный цвет), производная отрицательна. Если график функции в точке перегиба, касательная параллельна оси ОХ (синий цвет), производная равна нулю.

На рисунке в задании функция убывает в точках х3, х4, х5 и х9. То есть четыре точки

Ответ 4

---

Задание 8. В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше диаметра основания первого. На какой высоте будет находиться уровень жидкости во втором сосуде? Ответ выразите в см

Решение. Объём цилиндра равен площади основания, умноженной на высоту.

А площадь круглого основания равна "пи эр квадрат".
Итак, давайте запишем объёмы первого и второго цилиндров в буквенном виде (точнее говоря, не объём сосудов, а объём воды в сосудах).

И поскольку в первом и втором сосуде та же самая вода (V1=V2), приравняем правые части этих формул

А дальше, во-первых для простоты сократим на "пи", а во-вторых вместе r2 запишем согласно условию 4r1(В условии дано, что диаметр второго цилинда больше первого в два раза. Но ведь диаметр - это два радиуса, значит радиус второго цилиндра в 4 раза больше).

Ответ 4

---

Задание 9. Найдите

Решение. Все мы прекрасно знаем основное тригонометрическое тождество

Отсюда мы легко найдём синус альфа

Но при извлечении квадратного корня может быть как положительное, так и отрицательное число. Какое же взять? На это указывает условие - в каком промежутке лежит угол альфа.
Вспомним, тригонометрический круг

От пи до двух пи синус отрицательный. Поэтому для ответа выберем отрицательное число - 0,8.
Нам по условию требуется найти синус двойного угла. Вспомним формулу

Подставляем в эту формулу данный в задании косинус и только что вычисленный синус, получаем

2 х (-0,8) х 0,6 = -0,96

Ответ - 0,96

---

Задание 10. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением

где c = 1500 м/с — скорость звука в воде; f0 — частота испускаемого сигнала (в МГц); f — частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.

Решение. Лучше всего сразу подставить в исходную формулу числовые значения

Получилось обычное уравнение с одним неизвестным f, которое и надо решить

Ответ 751

---

Задание 11. Весной катер идёт против течения реки в 1 и 2/3 раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в 1 и1/2 раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

Решение. Задание проверяет наше умение строить алгебраические модели реальных ситуаций. Обычно надо на основе заданных условий составить уравнение или систему уравнений, а потом решить их.

Пусть у - скорость катера в стоячей воде.
Пусть х - скорость течения реки весной.
Тогда, по условию, (х - 1) - скорость течения реки летом.

Тогда весной
у - х скорость катера против течения;
у + х скорость катера по течению.

И в условии сказано, что

А летом
у - (х - 1) = у - х + 1 скорость катера против течения;
у + х - 1 скорость катера по течению.

В условии сказано, что

В последнее выражение подставим у = 4 х, кторое мы нашли из условия движения катера весной

Ответ 5

---

Задание 12. Найдите точку максимума функции

Решение. Помнишь, мы рассматривали возрастающую, убывающую и перегибающуюся с возрастания на убывание функцию? Это было в задаче 7. Мы говорили, что при возрастании функции её производная имеет знак "плюс", при убывании "минус", а в точке перегиба производная равна нулю.

А ведь точка перегиба - это и есть точка МАКСИМУМА функции. Именно в точке перегиба функция У имеет наибольшее значение! (По правде сказать, может быть и минимум, но об этом позднее).

Таким образом, решать задачу будем в два действия: 1) Найдём производную от функции 2) Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение.

1) Находим производную. Во-первых, помним, что производная суммы равна сумме производных.

Производная от второго слагаемого, от 2х, равна просто 2; производная от третьего слагаемого, от 7, вообще равна нулю. А вот первое слагаемое - это сложная функция и производную от неё надо искать аккуратно.
Рассмотрим эту сложную функцию. Сначала была простая линейная функция

Потом её возвели в квадрат и получили новую функцию

А потом от этой новой функции, от v, взяли натуральный логарифм и получили уже третью функцию u(v)

И теперь, по правилам дифференциирования, чтобы найти производную функции u(x) надо перемножить

Сделаем такие действия с заданной в условии функцией

А в целом производная от суммы трёх слагаемых получится такая

2) Приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение

Это ответ. Если бы уравнение имело два или больше корней, надо бы было проверить, который из них является максимумом.

Ответ - 5

---

Задание 13.

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение. Данное задание проверяет наше умение решать тригонометрические уравнения.
Простейшее тригонометрическое уранение выглядит, например, так sin x = 0 или так sin x = 1/2.
Неизвестная величина х - это угол, синус которого равен нулю (в первом случае) или 1/2 (во втором случае).

Мы имеем кое-какие представления о тригонометрии, и знаем, что sin 0 = 0. Получается х = 0. Это решение первого уравнения? Да, решение. Но не всё решение. Потому что

Уравнение имеет бесконечное множество корней, каждый из которых на "пи" отличается от другого. В общем виде корни уравнения принято записывать так

Множитель k принадлежит (значок, похожий на букву Е, означает "принадлежит") множеству целых чисел Z. То есть k может принимать любые целые значения {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Второе простейшее уравнение sin x = 1/2 тоже имеет множество корней. Не станем пояснять вывод формулы, его ты легко найдёшь в любом учебнике, сразу дадим формулу корней в окончательном виде

Но эти формулы позволяют решать простейшие уравнения, а у нас в исходных данных уравнение чуть более замысловатое. Поэтому его для начала надо максимально упростить. Вспомним формулы для двойного угла и основное тригонометрическое тождество. Считается, мы это должны помнить наизусть. И сделаем так:

А для правой части уравнения вспомним одну из формул приведения

Теперь заданное уравнение можем переписать в таком виде

И дальнейшие преобразования

Произведение двух сомножителей равно нулю, если хотя бы один из них (или оба) равны нулю. Наше уравнение распадается на два простейших

и

Оба эти простейших уравнения мы уже рассмотрели, решения их показали. И у того и того уравнения, как говорилось, корней бесконечное множество. Надо выполнить задание б), то есть выбрать из этого множества только те корни, которые принадлежат промежутку .

Промежуток я нарисовал на прямой, вообще-то надо рисовать круг. Подставляем в формулу

разные значения k. При k = - 2 Это единственный корень, который входит в заданный промежуток.

Затем, возьмём корни

и будем также подставлять вместо k разные значения. Найдём, что в заданном промежутке находятся корни

Ответ (Хотя, в данной задаче надо в бланк записывать не только ответ, но и выкладки)

а):

б) ;

---

Извините, рекламная вставка. Если кликнешь по картинке - нашему сайту капнет копеечка...

---

Задание 14. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA1 и A1С1 соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.

Решение. Нарисуем чертёж призмы. Обратим внимание, что призма - правильная, то есть в основаниях лежат равносторонние треугольники и боковое ребро - высота - тоже равно 6.

Первым делом требуется доказать, что отрезки ВМ и MN перпендикулярны. Или, иначе говоря, что угол BMN - прямой. Для этого соединим точки B и N и попробуем доказать, что полученный треугольник BMN - прямоугольный

.

Помните, как двевние египтяне выравнивали прямые углы для своих пирамид. Они брали верёвку с 12 узлами и натягивали её так, чтобы на каждую сторону треугольника приходилось соответственно 3, 4 и 5 промежутков между узлами. Они использовали теорему, обратную теореме Пифагора: если сумма квадратов двух сторон треугольника (катетов) равна квадрату третьей стороны (гипотенузы), то этот треугольник прямоугольный.

Пойдём и мы тем же путем. Докажем, что сумма квадратов сторон BM и MN равна квадрату стороны BN.

Четырёхугольник АА1В1В - квадрат со стороной 6 (по условию). Из прямоугольного треугольника ВАМ, где АВ = 6; АМ = 3 (середина стороны АА1) найдём МВ

Далее найдём MN, исходя из того, что и M и N середины сторон

А чтобы найти BN выполним дополнительное построение.

Проведём В1N - выстоу в треугольнике А1В1С1. Легко сообразить, что В1N

Треугольник ВВ1N - прямоугольный, потому что в правильной призме бококове ребро и основание перпендикулярны. Из него найдём BN

Всё, все стороны в треугольнике BMN определили, теперь проверим его на соответствие теореме Пифагора

Задание а) доказано.

Вторая часть задания требует найти угол между двумя плоскостями. Вспомним, о чём это, по учебнику Атанасяна. Угол между плоскостями - это двухгранный угол. Вот на картинке одна грань зелёненькая, другая серенькая. Линия пересечения плоскостей называется ребро.

Если в каждой грани провести отрезки ВО и АО, так, чтобы они были перпендикулярны ребру, то получится так называемый линейный угол АОВ двухгранного угла. Угол АОВ можно измерить транспортиром, по величине линейного угла мы говорим и о величине двухгранного угла.

В нашем задании требуется найти двухгранный угол между плоскостями АА1В1В и построенной внутри призмы плоскостью треугольника BMN. Для наглядности давайте перевернём призму так, что гранью АА1В1В "положим её на пол".

Поскольку МВ лежит и в плоскости треугольника, и в плоскости АА1В1В, то это и будет линия пересечения двух плоскостей. Но левый край плоскости треугольника (в частности, точка N) приподнят над плоскостью АА1В1В. Если б мы легли на пол, прижавшись к полу щекой, и взглянули бы сбоку на лежащую на полу призму, то увидели бы нечто такое:

Дугой со стрелочками показан искомый двухгранный угол между плоскостями. Двухгранный угол равен его линейному углу. Наша задача - построить линейный угол, одна сторона которого лежит в плоскости АА1В1В и перпендикулярна линии пересечения плоскостей МВ. Другая сторона лежит в плоскости MNB и тоже перпендикулярна линии пересечения плоскостей МВ.

Мы уже доказали в пункте а), что NM перпендикулярна МВ. Таким образом, NM - будет одна сторона линейного угла, лежащая в плоскости MNB. Для второй стороны надо вспомнить из курса стереометрии теорему о трёх перпендикулярах. Вот она какая: в плоскости альфа лежит прямая а. К ней вне плоскости проведён отрезок АМ, перпендикулярный прямой а. НМ - проекция отрезка АМ на плоскость альфа. Теорема гласит, что проекция НМ тоже перпендикулярна прямой а. А где третий перпендикуляр? Третий - это проекция; чтобы построить проекцию точки А на плоскость альфа надо опустить перпендикуляр АН.

Как опустить из точки N проекцию на плоскость АА1В1В? Проведём отрезок С1Т, где Т - середина отрезка А1В1. Мы уже рассматривали аналогичный отрезок, это высота треугольника А1С1В1 (потому что в равностороннем треугольнике медиана является также и высотой). С1Т перпендикулярна А1В1, лежащей в плоскости АА1В1В, стало быть она перпендикулярна и самой этой плоскости. С1Т равна

Из точки N проведём отрезок NQ строго параллельно С1Т, значит он тоже будет перпендикуляром к плоскости АА1В1В. Q - это и будет проекция точки N на плоскость АА1В1В. А отрезок QM по теореме о трёх перпендикулярах будет перпендикулярен линиии пересечения плоскостей МВ; то есть он и будет второй стороной линейного угла.

Рассмотрим треугольник MQN. Он прямоугольный (ибо NQ перпендикулярна QM по построению). Гипотенуза NM известна . Катет NQ можно найти по теореме Фалеса (не "фаллоса", а Фалеса), которая гласит: если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то и на другой стороне угла они отсекают равные отрезки. У нас NQ параллельно C1T. А1N = NC1 по пострению, то A1Q =QT по теореме Фалеса. A1Q = 3/2; A1N = 3 . Тогда

И, наконец, последний рывок.

Ответ: а) доказано; б)

---

Задание 15. Решите неравенство

Решение. Показательное неравенство - это неравенство, где переменная икс (которую, собственно говоря, и требуется найти) стоит в показателе степени.
Простейшие неравенства решаются примерно так же, как и показательные уравнения (смотри задание 5). Например, простейшее показательное неравенствоимеет решение . Но наше неравенство довольно громоздкое. Постараемся упростить запись, насколько это возможно, чтобы привести заданное неравество в самы простой вид.
Сначала по свойствам степеней

Получится вот так:

Вот эту "тройку в степени икс", которая повсюду встречается, давайте временно заменим какой-нибудь буквой, например k.

Тогда

Это уже гораздо симпатичней... Затем с первой дробью сделаем такое преобразование: прибавим единичку и отнимем её

Для чего мы это сделали? Чтобы получился в числителе красивый квадратный трёхчлен, который легко разложить на множители (k-1)(k-5)

Первая дробь превратится в

Со второй дробью сделаем такое преобразование: прибавим в числителе (+3) и (-3)

После этаких преобразований запишем всё неравенство, чтобы не забыть

Первая и третья дробь сокращаются (сомножитель в числителе и знаменатель)

Перенесём ещё и правую часть налево

Вот и окончательно оформленное неравенство. Дробь меньше или равна нулю

1. Если числитель отрицателен или равен нулю;
2. Если знаменатель отрицателен (но он не имеет права быть равным нулю).

Поэтому решением неравенства будут

А теперь вернёмся к настоящей переменной - "три в степени х"

1. , откуда

2. Девять - это тройка в квадрате. А можно ли число 5 представить себе, как 3 в какой-нибудь степени? Да

Поэтому второе решение неравенства

Ответ:,

---

Задание 16. Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая  AB касается первой окружности в точке  A, а второй — в точке B. Прямая  BK пересекает первую окружность в точке  D, прямая  AK пересекает вторую окружность в точке  C.

а) Докажите, что прямые  AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника  AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Решение. Построим чертёжик.

Есть отличный, подробнейший ролик с решением этой непростой задачки. Его то и предлагаем Вашему вниманию.

Ответ: 3,2